переменных x1, x2, ..., xn - замена этих переменных на новые x'1, x'2, ..., x'n, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам:
x1 = a11x'1 + a12x'2 + ... + annx'n + b1,
x2 = a21x'1 + a22x'2 + ... + a2nx'n + b2,
...
xn = an1x'1 + an2x'2 + ... + annx'n + bn,
здесь aij и bi (i, j = 1,2, ..., n) - произвольные числовые коэффициенты. Если b1, b2,..., bn все равны нулю, то Л. п. переменных называют однородным.
Простейшим примером Л. п. переменных могут служить формулы преобразования прямоугольных координат на плоскости
х = x' cos α - y' sin α + a,
у = x' sin α + y' cos α + b.
Если
Определитель D = ∣
aij ∣, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю, то можно и новые переменные
x'1, x'2, ..., x'n линейно выразить через старые. Например, для формул преобразования прямоугольных координат
и
x' =x cos α + ysin α + a1
y' = -x sin α + cos α + b1
где a1 = - a cos α - b sin α, b2 = a sin α - b cos (. Другими примерами Л. п. переменных могут служить преобразования аффинных и однородных проективных координат, замена переменных при преобразовании квадратичных форм и т. п.
Л. п. векторов (или Л. п. векторного пространства (См.
Векторное пространство)) называют закон, по которому вектору
х из
n-мерного пространства ставят в соответствие новый вектор
x', координаты которого линейно и однородно выражаются через координаты вектора
х:
x'1 = a11x1 + a12x2 + ... +a1nxn
x'2 = a21x1 + a22x2 + ... +a2nxn
...
x'n = an1x1 + an2x2 + ... +annxn,
или коротко
x' = Ax.
Например, операция проектирования на одну из координатных плоскостей (пусть на плоскость хОу) будет Л. п. трёхмерного векторного пространства: каждому вектору
а с координатами
х, у, z сопоставляется новый вектор
b, координаты
x', y'., z' которого выражаются через
х, у, z следующим образом :
x' = х, y' = у,
z' = 0. Пример Л. п. плоскости - поворот её на угол α вокруг начала координат. Матрицу (См.
Матрица)
,
составленную из коэффициентов Л. п. А, называют его матрицей. Матрицами приведённых выше Л. п. проектирования и поворота будут соответственно
и
.
Л. п. векторного пространства можно определить (как обычно поступают) без использования системы координат: соответствие х→у = Ax называют Л. п., если выполняются условия А(х + у) = Ax + Ау и A(αx) = αА(х) для любых векторов х и у и любого числа α. В разных системах координат одному и тому же Л. п. будут соответствовать разные матрицы и, следовательно, разные формулы для преобразования координат.
К Л. п. относится, в частности, нулевое Л. п. О, переводящее все векторы в 0 (нулевой вектор) : Ox = 0 и единичное Л. п. Е, оставляющее все векторы без изменения: Ex = х; этим Л. и. в любой системе координат соответствуют нулевая и единичная матрицы.
Для Л. п. векторного пространства естественным образом определяются операции сложения и умножения: суммой двух Л. п. А и В называют Л. п. С, переводящее любой вектор х в вектор Cx = Ax + Вх; произведением Л. п. А и В называют результат их последовательного применения: С = AB, если Cx = А(Вх).
В силу этих определений совокупность всех Л. п. векторного пространства образует
Кольцо. Матрица суммы (произведения) Л. п. равна сумме (произведению) матриц Л. п. слагаемых (сомножителей); при этом существен порядок множителей, так как произведение Л. и., как и матриц, не обладает свойством коммутативности (См.
Коммутативность)
. Л. п. можно также умножать на числа: если Л. п.
А переводит вектор
х в вектор
у =
Ax, то α
А переводит
х в α
у. Примеры операций над Л. п.: 1) Пусть
А и
В означают операции проектирования па оси Ox и Оу в трёхмерном пространстве;
А + В будет проектированием на плоскость хОу, а
AB = 0. 2)
А и
В - повороты плоскости вокруг начала координат на углы φ и
ψ; AB будет поворотом на угол φ +
ψ. 3) Произведение единичного Л. п. Е на число α будет преобразованием подобия с коэффициентом растяжения (или сжатия) α.
Л. п. В называют обратным к Л. п. А (и обозначают А-1), если BA = Е (или AB = Е). Если Л. п. А переводило вектор х в вектор у, то Л. п. А-1 переводит у обратно в х. Л. п., обладающее обратным, называют невырожденным; такие Л. п. характеризуются также тем, что определитель их матрицы не равен нулю. Некоторые классы Л. п. заслуживают особого упоминания. Обобщением поворотов двумерных и трёхмерных евклидовых пространств являются ортогональные (или унитарные - в комплексных пространствах) Л. п. Ортогональные Л. п. не изменяют длин векторов (а следовательно, и углов между ними). Матрицы этих Л. п. в ортонормированной системе координат также называются ортогональными (унитарными): произведение ортогональной матрицы на её транспонированную даёт единичную матрицу: ∑kaikajk = ∑kakiakj = 0 при i ≠ j, ∑ka2ik = ∑ka2ki = 1 (в комплексном пространстве ∑kaika̅jk = ∑kakia̅kj = 0, ∑k|ajk|2 = ∑k|aki|2 = 1). Симметрическим (эрмитовым, или самосопряжённым, - в комплексном пространстве) Л. п. называют такое Л. п., матрица которого симметрическая: aij = aji (или (aij = a̅ij). Симметрические Л. п. осуществляют растяжение пространства с разными коэффициентами по неск. взаимно ортогональным направлениям. С симметрическими Л. п. связана теория квадратичных форм (или эрмитовых форм в комплексном пространстве).
Приведённое выше определение Л. п. в векторном пространстве, не использующее координатную систему, без всяких изменений распространяется и на бесконечномерные (в частности, функциональные) пространства. Л. п. в бесконечномерных пространствах принято называть линейными операторами (См.
Линейный оператор)
.
Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970; Ефимов Н. В., Розендорн Э. P., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970.